Cómo analizar transformadores de líneas de transmisión: de la manera fácil y de la manera difícil

Al utilizar líneas de transmisión en lugar de devanados, los transformadores de líneas de transmisión pueden operar a altas frecuencias y en amplios anchos de banda. Como aprendimos en un artículo anterior, estas capacidades las hacen muy útiles para aplicaciones de RF y microondas. Sin embargo, para los principiantes, analizar transformadores de líneas de transmisión suele resultar confuso.

En este artículo, intentamos aclarar esta confusión analizando los dos métodos comunes para analizar transformadores de líneas de transmisión. El primer método que examinaremos (el “camino difícil”, como dice el título del artículo) ofrece un mayor nivel de precisión pero requiere más tiempo para hacer los cálculos. El segundo método proporciona un análisis simplificado que suele ser suficiente, aunque no siempre. Antes de tomar el camino fácil, es importante comprender el camino difícil.

La manera difícil: usar ecuaciones de líneas de transmisión

Los transformadores de líneas de transmisión dependen de la propagación de ondas electromagnéticas a través de una línea de transmisión para transferir energía a la salida. Por lo tanto, un análisis exhaustivo debería considerar las ecuaciones de la línea de transmisión. Por ejemplo, la Figura 1 muestra un circuito de cambio de fase con una bobina bifilar.

Ilustración 1. Un inversor de fase de banda ancha con bobina bifilar.

Para analizar este circuito, utilizamos los parámetros ABCD de la línea de transmisión para describir la relación entre los terminales de entrada y salida de la línea. Considere la línea de transmisión sin pérdidas en la Figura 2, que tiene una impedancia característica de z₀una constante de fase de β y una longitud de yo.

Figura 2. Una línea de transmisión con impedancia característica. z₀Constante de fase by longitud yo.

La representación ABCD de la línea de transmisión describe las magnitudes de voltaje y corriente en los terminales de entrada y salida mediante las siguientes ecuaciones:

$$V_{1} ~=~ \cos(\beta l) V_{2} ~+~jZ_{0} \sin(\beta l) I_{2}$$

Ecuación 1.

$$I_1 ~=~j\frac{\sin(\beta l)}{Z_0} V_2 ~+~ \cos(\beta l) I_2$$

Ecuación 2.

Estas son las dos ecuaciones principales que usaremos para analizar el circuito de cambio de fase. De la Figura 1 también obtenemos una ecuación adicional para relacionar el voltaje de salida y la corriente de salida:

$$V_2 ~=~ R_L I_2$$

Ecuación 3.

Dónde R_l es la resistencia de carga.

Suponiendo una carga ajustada (z₀ = R_l), podemos combinar la Ecuación 3 con la Ecuación 1 usando álgebra. Esto nos da la relación entre los voltajes de entrada y salida:

$$V_{2}~=~e^{-j \beta l}V_{1}$$

Ecuación 4.

Como muestra esta ecuación, la amplitud de la señal a lo largo de la línea de transmisión es constante con una carga adaptada. La línea sólo provoca un cambio de fase en la señal de entrada.

El voltaje de salida final se calcula de la siguiente manera:

$$V_{out}~=~-V_{2}~=~-e^{-j \beta l}V_{1}$$

Ecuación 5.

Esto muestra que el circuito actúa como inversor de fase cuando el cambio de fase del término exponencial es insignificante. Para que la función de transferencia tenga un cambio de fase de 180 grados, se debe aplicar \( \beta l ~\ll~ 1 \). Recuerde que la constante de fase β viene dada por:

$$\beta ~=~ \frac{2 \pi}{ \lambda }$$

Ecuación 6.

Por lo tanto, para ignorar el cambio de fase con respecto al término exponencial, la longitud de la línea debe satisfacer la siguiente restricción:

$$l ~\ll~ \frac{\lambda}{2 \pi}$$

Ecuación 7.

En resumen, se deben cumplir dos condiciones para que el circuito funcione como inversor de fase:

• La pérdida de la línea debe ser insignificante.
• La longitud de la línea debe ser lo suficientemente corta para que se pueda ignorar el cambio de fase del término exponencial.

Aunque este método es preciso, requiere relativamente mucho cálculo. Analicemos una forma más intuitiva de determinar la relación de transformación de impedancia del circuito.

La manera más fácil: el método del inductor agrupado

Cuando se trata de análisis de transformación de impedancia, muchos libros suponen que el transformador de línea de transmisión se comporta de manera similar a un transformador acoplado magnéticamente. Esta suposición nos permite evitar las matemáticas complejas que vimos en la sección anterior. Por ejemplo, veamos qué sucede si analizamos el circuito de cambio de fase (que se muestra en la Figura 3 para mayor claridad) como si fuera un transformador acoplado magnéticamente.

Figura 3. Análisis de inversor de fase de banda ancha como transformador convencional.

En este caso asumimos que el voltaje en el devanado primario (v₁) también se imprime a través del devanado secundario (v₁ = v₂). Asimismo, la misma corriente fluye por los devanados primario y secundario. Para encontrar la polaridad de los voltajes y la dirección de las corrientes, aplicamos la convención del punto del transformador a la figura anterior. Aplicando la ley de tensiones de Kirchhoff obtenemos:

$$V_{out}~=~-V_2 ~-~ V_{in} ~+~ V_1 ~=~ – V_{in}$$

Ecuación 8.

Esto es consistente con el análisis matemático más detallado que realizamos anteriormente.

Cuando se utiliza correctamente, el método simplificado proporciona la misma relación de transformación de impedancia que el análisis más riguroso. Por esta razón, muchas referencias sólo presentan el análisis simplificado. Sin embargo, este método depende de que hagamos ciertas suposiciones sobre el comportamiento del circuito, específicamente, que la corriente que sale de un devanado es la misma que la corriente que entra en él.

Este es el tipo de análisis que utilizamos con un inductor agrupado. Para que podamos suponer que los devanados de un transformador de línea de transmisión actúan como inductores agrupados, las dos afirmaciones siguientes deben ser ciertas:

1. El circuito funciona a baja frecuencia.
2. La línea de transmisión es corta en relación con la longitud de onda.

Dado que un transformador de línea de transmisión puede funcionar como un transformador acoplado magnéticamente en una porción significativa de su rango de frecuencia, el análisis simplificado es válido siempre que se cumplan las dos condiciones anteriores. Sin embargo, a altas frecuencias, debemos utilizar las ecuaciones de la línea de transmisión para obtener una comprensión integral del comportamiento del circuito. El análisis de líneas de transmisión supone que los devanados actúan como elementos distribuidos, lo que lleva a suponer que la corriente que entra por un devanado es diferente de la corriente que sale por el otro extremo.

Resumen

En este artículo, conocimos dos métodos diferentes para analizar un transformador de línea de transmisión. Los artículos futuros de esta serie utilizarán este conocimiento; utilizaremos ambas técnicas analíticas presentadas aquí para examinar la clase de transformadores Ruthroff. Hasta entonces, espero que la discusión de hoy les haya resultado informativa.

Todas las imágenes utilizadas son cortesía de Steve Arar.