[ad_1]
la versión original de esta historia apareció en Revista Quanta.
En 1917, el matemático japonés Sōichi Kakeya presentó lo que al principio parecía un divertido ejercicio de geometría. Coloque una aguja infinitamente delgada, de un centímetro de largo, sobre una superficie plana, luego gírela para que apunte alternativamente en todas las direcciones. ¿Cuál es el área más pequeña que puede cubrir la aguja?
Si simplemente lo giras alrededor de su centro, obtienes un círculo. Pero es posible mover la aguja de formas ingeniosas para ocupar mucho menos espacio. Desde entonces, los matemáticos han formulado una versión relacionada de esta pregunta, la conjetura de Kakeya. En sus intentos por resolver el problema, descubrieron conexiones sorprendentes con el análisis armónico, la teoría de números e incluso la física.
«De alguna manera, esta geometría de líneas que apuntan en muchas direcciones diferentes es omnipresente en gran parte de las matemáticas», dijo Jonathan Hickman de la Universidad de Edimburgo.
Pero también es algo que los matemáticos aún no comprenden del todo. En los últimos años se han demostrado variaciones de la conjetura de Kakeya en entornos más simples, pero la cuestión sigue sin resolverse en el espacio tridimensional normal. Durante un tiempo pareció como si todo el progreso se hubiera estancado en esta versión de la conjetura, a pesar de que tiene numerosas consecuencias matemáticas.
Ahora dos matemáticos han movido la aguja, por así decirlo. Su nueva evidencia supera un obstáculo importante que ha existido durante décadas y genera esperanzas de que finalmente pueda haber una solución a la vista.
¿Cuál es el pequeño trato?
Kakeya estaba interesado en conjuntos en el plano que contienen un segmento de recta de longitud 1 en cada dirección. Hay muchos ejemplos de conjuntos de este tipo, siendo el más simple un disco con un diámetro de 1. Kakeya quería saber cómo sería el conjunto más pequeño.
Sugirió un triángulo con lados ligeramente curvados hacia adentro, llamado deltoides, que tiene la mitad del área del disco intervertebral. Sin embargo, resulta que las cosas pueden ser mucho, mucho mejores.
El deltoides de la derecha tiene la mitad del tamaño del círculo, aunque ambas agujas giran en todas direcciones.Vídeo: Merrill Sherman/Revista Quanta
En 1919, apenas unos años después de que Kakeya planteara su problema, el matemático ruso Abram Besicovitch demostró que se podía construir un conjunto de aspecto espinoso con un área arbitrariamente pequeña si se disponían las agujas de una manera muy específica. (Debido a la Primera Guerra Mundial y la Revolución Rusa, su resultado no llegó al resto del mundo matemático durante varios años).
Para ver cómo podría funcionar esto, toma un triángulo y divídelo en piezas triangulares más delgadas a lo largo de su base. Luego, deslice estas piezas para que se superpongan entre sí tanto como sea posible pero sobresalgan en direcciones ligeramente diferentes. Repitiendo el proceso una y otra vez, dividiendo el triángulo en fragmentos cada vez más delgados y reorganizándolos cuidadosamente por la habitación, puedes hacer que tu conjunto sea tan pequeño como quieras. En el límite infinito, puedes obtener un conjunto que matemáticamente no tiene área, pero que, paradójicamente, aún puede sostener una aguja apuntando en cualquier dirección.
«Esto es algo sorprendente y contradictorio», dijo Ruixiang Zhang de la Universidad de California, Berkeley. «Es una sentencia que es muy patológica».
[ad_2]